使用线性近似计算立方根

线性逼近不仅容易做，而且非常有用！例如，您可以在不使用计算器的情况下使用它来近似立方根。

这是一个例子。你能近似吗

在你的脑海里？是的你可以！如何？

像这样：宾果游戏！4.125。

好吧，还不止于此。看看这个图，然后按照下面的步骤来获得完整的图片。

在 (64, 4) 处与曲线相切的线可用于近似立方根或 64 附近的数字。

估计

按着这些次序：

1. 在附近找到一个完美的立方根

   

   你注意到

   

   几乎是显而易见的，

   

   这当然是 4。这给了你图上的点 (64, 4)

   

2. 找到斜率

   

   （这是切线的斜率）在x = 64。

   

   这告诉你——为了近似接近 64 的立方根——你添加（或减去）

   

   从 64 每增加（或减少）1 到 4。例如，65 的立方根大约是

   

   66 的立方根大约是

   

   67 的立方根大约是

   

   63 的立方根大约是

   

3. 用点-斜率的形式写出(64, 4)处的切线方程。

   

   在上面等式的第三行，你把 4 放在等式右边的前面（而不是放在最右边，这看起来更自然）有两个原因。首先，因为这样做会使这个方程式与第 2 步末尾关于从 4 开始并随着您离开切点而从那里向上（或向下）上升（或向下）的解释相吻合。其次，使这个等式与第 4 步末尾的解释一致。稍后您将看到它是如何工作的。

4. 因为这条切线非常靠近函数

   

   在x = 64附近，您可以使用它来估计 64 附近数字的立方根，例如在x = 70 处。

   

   顺便说一下，在你的计算文本中，来自代数的简单点斜率形式（第 3 步中的第一个方程行）可能被重写为夸张的微积分术语——像这样：

   

不要被这个等式吓倒。这只是您友好的旧代数方程式的变相！逐项仔细查看它，您会发现它在数学上与像这样调整的点斜率方程相同：y = y ₁ + m ( x – x ₁ )。（不同的下标数字 0 和 1 没有意义。）